[opb super pi 淺談] part2: pi在數學上的算法概觀

[chyuan]

要超頻是不是要先有微積分的概念才能超得好:PPP:

 

[hyde211]

這是用在pi上啦;em03;

 

[狂少]

積分法:

ok,現在我們來看看積分應用原則: 這邊因數學符號的關係我們用文字解說

Arc.Tan (x)= Integal(0~x) dt/(1+t^2)

好,再把這idea套到以下的多項式中;

1/(1 + t2) = 1 - t2 + t4 - t6 + ... 再各項取積分下去做integal

我們會得到以下這個infinite series :

tan-1(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ... ,

這個呢就稍微帶出一點重點;這會converges 所有的x成為.....> -1 <= x <= 1. 把x = 1代入,我們當場證得 Leibniz's series

pi = 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...) .

ok那講那麼多屁話重點在那?
ok, 我們都知道x=1是最好代也是最簡單的,所以 x = 1 就是這一個你用來證明PI值會去趨近於某一個數的極端點(數學是叫做endpoint), 那這個數列它的趨近動作非常慢,所以你要用很久又很大的數去模擬他的Convergence. 通常應該是5個一組.那大家就不難了解為啥你有時會看到 " Not convergent in SQR5"
那如果要更機車一點以套一點角度讓他更精密
我們可以把x取1/sqrt(3) = tan-1(pi/6)---->為啥?就是要讓左邊變pi所以
pi = 2·sqrt(3)(1 - 1/3·3 + 1/5·32 - 1/7·33 + 1/9·34 - ...)

那前5組的結果就會是: 3.46410, 3.07920, 3.15618, 3.13785, 3.14260 , 那就好一點

還能更好嗎?可以啊...怎麼攪?
分母越大,數值越小對吧?

x = tan(pi/n) 讓 n >= 4
所以
pi = n(tan(pi/n) - tan3(pi/n)/3 + tan5(pi/n)/5 - tan7(pi/n)/7 + tan9(pi/n)/9 - ...).
那更能導出
tan(x/2) = sqrt((1 - cos(x))/(1 + cos(x))),

根據上回微分的數字,如果N=6?

**Sk(tan(pi/n))指:這series(S),運行5組所得到的就是S5,n=6, 12, 24所得!!


n S5(tan(pi/n)) S10(tan(pi/n))
6 3.14260474566308467280 3.14159051063808009964
12 3.14159317934909787183 3.14159265358927023954
24 3.14159265403260366883 3.14159265358979323810

***************************************************************************

所以你看S10, n=24下去算是不是跟pi值差不多...32m為啥是算24個iterations?;)
跟super pi的竅門無關,但是你如果有了解,舉一反3之後我不信你會輸人到那:)

 

[StarFish]

狂兄樓上這堆是什麼鳥阿...? 玩Super Pi真的得有兩把刷子...

 

[狂少]

這堆鳥很簡單
比下紅音還簡單:D

 

[hyde211]

積分來了~~~
酷啊XD

SUPER PI上面所使用的公式也是同這微分或積分的嗎

還是使用更高階的??

 

[狂少]

哇靠我以為被洗版

 

[hardware_kayo]

說的簡單...........做的難;x;

 

[狂少]

說的簡單...........做的難;x;

有啥要做嗎?:D
這個不就了解就好?;em25; ;x;

 

[TONY.MONSTER]

原來如此~長知識~^^
感謝喔~!!

COPY起來慢慢研究~^^